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计算方法/数值分析(全48讲)【理工学社】视频教程

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01

插值方法

最佳平方逼近

03

数值积分

04

解线性代数方程组的直接方法

05

解线性代数方程的迭代法

06

非线性方程的解法

07

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常微分方程初值问题的数值解法

08

变分原理

09

变分原理二

10

边值问题的有限差分法

11

有限元法

计算方法又称“数值分析”。是为各种数学问题的数值解答研究提供最有效的算法。主要内容为函数逼近论,数值微分,数值积分,误差分析等。常用方法有迭代法、差分法、插值法、有限元素法等。现代的计算方法还要求适应电子计算机的特点。数值分析即“计算方法”。
函数求值
数值分析中最简单的问题就是求出函数在某一特定数值下的值。最直觉的方法是将数值代入函数中计算,不过有时此方式的效率不佳。像针对多项式函数的求值,较有效率的方式是秦九韶算法,可以减少乘法及加法的次数。若是使用浮点数,很重要的是是估计及控制舍入误差。[5]
求解方程
另一种常见的问题是求特定方程式的解。首先会依方程式是否线性来区分,例如方程式 2x+5=3是线性方程式,而2×25=3是非线性方程式。
此领域许多的研究都和求解线性方程组有关。直接法是线性方程组的系数以矩阵来表示,再利用矩阵分解的方式求解,这些方法包括高斯消去法、LU分解,对于对称矩阵(或埃尔米特矩阵)及正定矩阵可以用乔莱斯基分解,非方阵的矩阵则可以用QR分解。迭代法包括有雅可比法、高斯–塞德迭代法、逐次超松驰法(SOR)及共轭梯度法,一般会用在大型的线性方程组中。
求根算法是要解一非线性方程,其名称是因为函数的根就是使其值为零的点。若函数本身可微且其导数是已知的,可以用牛顿法求解,其他的方法包括二分法、割线法等。线性化则是另一种求解非线性方程的方法。
求解特征值
许多重要的问题可以用奇异值分解或特征分解来表示。例如有些图像压缩算法就是以奇异值分解为基础。统计学中对应的工具称为主成分分析。
最优化
最优化问题的目的是要找到使特定目标函数有最大值(或最小值)的点,一般而言这个点需符合一些约束。
依目标函数及约束条件的不同,最佳化又可以再细分:例如线性规划处理目标函数及约束条件均为线性的情形,常用单纯形法来求解。若目标函数及约束条件其中有一项为非线性,就是非线性规划的范围。
有约束条件的问题可以利用拉格朗日乘数转换为没有约束条件的问题。
积分计算
数值积分的目的是在求一定积分的值。一般常用牛顿-寇次公式,包括辛普森积分法、高斯求积等。上述方式是利用分治法来处理积分问题,也就是将大范围的积分切割成许多小范围的积分,再进行计算。不过在高维度时,上述作法可能会因为要作许多的计算而变得不实用(也就是维数之咒所描述的情形),此时可以采用蒙地卡罗方法或半蒙地卡罗方法。(可参照蒙地卡罗积分,或是适用于高维度的稀疏网格法。)
微分方程
数值分析也会用近似的方式计算微分方程的解,包括常微分方程及偏微分方程。
常微分方程往往会使用迭代法,已知曲线的一点,设法算出其斜率,找到下一点,再推出下一点的资料。欧拉方法是其中最简单的方式,较常使用的是龙格-库塔法。
偏微分方程的数值分析解法一般都会先将问题离散化,转换成有限元素的次空间。可以透过有限元素法、有限差分法及有限体积法,这些方法可将偏微分方程转换为代数方程,但其理论论证往往和泛函分析的定理有关。另一种偏微分方程的数值分析解法则是利用离散傅立叶变换或快速傅立叶变换。

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